助攻滿分?jǐn)?shù)學(xué)|GRE之集合攻略

在數(shù)學(xué)考試中，有很大的比例的考題會涉及到數(shù)據(jù)分析的內(nèi)容(data analysis)。而在這類問題中涉及集合的問題又是我們考生受到訓(xùn)練較少的題型。

我們首先來看下set集合這一個概念。A set is simply a group of two or more numbers or other terms. 一組數(shù)或者一些其他符號構(gòu)成一個集合，在這個集合里這些數(shù)或者符號被稱為element(元素)。

如果S是一個有限數(shù)量的集合，那么|S|被定義為元素的數(shù)目。例如S={2,3,4,5,6}，那么|S|=4，盡管這個集合里面有5個元素，但是里面有2個重復(fù)的元素，因此|S|為4而不是5。

隨后關(guān)于集合的問題，學(xué)生需要了解集合之間的關(guān)系。Union，并集，是指兩個或多個集合中共有的元素的集合。那么對于兩個集合A與B來說，union of A and B可以用符號：A∪B。另一個集合間的關(guān)系是交集，intersection。還是一樣，我們拿兩個集合A和B來看，intersection of A and B為：A∩B。在交集中，又有一個比較特殊例外，如果兩個集合的交集為0，即A∩B=∅，則把這兩個集合的關(guān)系成為disjoint or mutually exclusive。

對于集合中的定義就是以上這些，那么對于常見的GRE數(shù)學(xué)中的問題會涉及到什么呢?主要是關(guān)于集合數(shù)量的計算。這里可以給各位同學(xué)回憶下最早我們接觸過的一個解題方法，Venn diagram，韋恩圖�；蛟S這個名稱大家不熟悉，但當(dāng)我說出以下的例子后，相信大家都會回憶起來。

Of the 410students at Xinhua High School, 240 study Spanish and 180 study French. If 25students study neither language, how many study both?

大家對這個例子是不是很熟悉呢?相信許多同學(xué)看完這道題就會恍然大悟，這不是我們很早時候接觸的題目么?

讓我們再來回憶下，先前老師的講解方法。我們用封閉的圓來代表每個科目，一個圓來表示學(xué)習(xí)Spanish的學(xué)生人數(shù)，另一個圓來表示學(xué)習(xí)French的學(xué)生人數(shù)。那么兩圓相交的區(qū)域即為兩門語言課程都學(xué)習(xí)的學(xué)生。我們可以把這個人數(shù)值設(shè)為x。隨后根據(jù)題目的條件我們可以列出下列等式：240-x+180-x+x = 410-25。得出x=35，因此兩門語言都學(xué)習(xí)的學(xué)生人數(shù)為35。

那么集合是否可以用來計算這類問題呢?我們可以注意到學(xué)生的人數(shù)這個點與集合的集合元素數(shù)有所關(guān)聯(lián)，并且對于集合的元素數(shù)的計算也是有著公式存在|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，是對于兩個集合而言;對于三個集合而言|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|，因此對于上述題目，兩門語言都學(xué)習(xí)的學(xué)生人數(shù)即為|A∩B|。所以我們可以得到|A∩B|=240+180-(410-25)=35。

上述的對比中，我們可以看出集合的計算有著更為簡便的優(yōu)勢。下一個例子，我們來看看集合的運算在三個集合上的優(yōu)勢。

Studentswill choose to study three courses, Mathematic, English and Chinese. 35 studyMathematic, 30 study Chinese, 32 study English. If 20 students study bothMathematic and Chinese, 15 study both English and Chinese, 22 study bothMathematic and English, and 8 students study all three. And every student studyat least one course, how many students in this class?

這里我們將運用集合的運算來解決上述例題。問題問的是該班總共有多少學(xué)生，那么對應(yīng)的就是問的值。因此，|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|，即|A∪B∪C|=35+30+32-20-15-22+8=48。如果應(yīng)用Venn diagram來處理的話，則需要應(yīng)用3個圓的圖來解決，相應(yīng)的難度則比2圓圖大很多。

本次對于數(shù)學(xué)中的集合問題的分析到此結(jié)束，希望同學(xué)們能夠熟練掌握集合的計算來回答相應(yīng)的問題。

你可能還想看：