GRE數(shù)學(xué)|不能讓GRE330毀在眼神上

在上周，小編給大家提供了一些GRE寫作中的成語使用方法：、  

今天給大家講一講關(guān)于GRE數(shù)學(xué)的排列方式！

排列permutation(國內(nèi)也譯為arrangement)是GRE數(shù)學(xué)四個(gè)部分中最后一個(gè)部分Data Analysis的一個(gè)基礎(chǔ)而重要的知識點(diǎn)。

不論你是初次接觸國際和GRE的數(shù)學(xué)，還是從高中起就學(xué)習(xí)IB或SAT數(shù)學(xué)走過來的，你都可以明顯地感受到在GRE數(shù)學(xué)中，DataAnalysis這一部分的難度對比前三部分Arithmetic,Algebra和Geometry是有很大提升的。

而本文要講的permutation，不僅本身可能出現(xiàn)較難的題目，更是后邊組合combination和概率probability等重要知識點(diǎn)的基礎(chǔ)。

本文以乘法原則MultiplicationPrinciple為基礎(chǔ)，先引入階乘factorial的概念，最后帶你理解permutation的含義，并且會(huì)見識到部分難題的套路。

1. 乘法原則Multiplication Principle

If an event contains step 1 & step 2which are both independent, and there are k choices included in step 1 and m instep 2, then k×m approachesaltogether will be available.

解析：理解乘法原則的要點(diǎn)一是要理解事件的2個(gè)步驟是“有且僅有的”，二是要理解獨(dú)立independent的意思，即該步驟發(fā)生哪種結(jié)果是不受其他步驟的影響的，比如扔兩枚硬幣，第一枚的正反與第二枚的正反是無關(guān)的。例題可以參考GRE OG第277頁，此處略。

2. 階乘Factorial

Definition: The order of n subjects placed sequentially is called a factorial or a full permutation of the subjects.

3 persons standing in a queue4 persons standing in a queuen persons standing in a queue

ABC,BAC,CAB

ACB,BCA,CBA4×3×2×1

=24n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)

=n!

解析：

1) factorial是permutation的一種特殊情況;

2) 3個(gè)實(shí)驗(yàn)對象subjects排隊(duì)的時(shí)候可以用窮舉法把所有情況列舉出來。而4個(gè)人的時(shí)候比較多，可以類比乘法原則：排在隊(duì)伍第一個(gè)的人的選擇有4種，排在第二的選擇還剩下3種，之后為2和1種。注意，由order和sequentially可知，此時(shí)幾個(gè)steps之間并不是獨(dú)立的關(guān)系，因此每個(gè)step的選擇的數(shù)量考慮了上一個(gè)step的影響;

3) 由特殊到一般，n個(gè)對象排隊(duì)的排列數(shù)可以推導(dǎo)如表所示。將這一長串相乘的數(shù)字規(guī)定為’n!’ (read as ‘n factorial’)。比如4個(gè)人排隊(duì)的排列數(shù)就可以列為4的階乘即4!。

3. 排列Permutation

Definition: The order of n subjectstaken k at a time sequentially is called a permutation of the subjects.

4 persons standing in a queue (of 4)4 persons standing in a queue (of 2)n persons standing in a queue (of k)

4!=244×3=12n(n-1)(n-2)…(n-k+1)

=nPk or Pkn or P(n,k)

解析：

1) Permutation和factorial的區(qū)別在于前者只有一部分對象參與排隊(duì)，而后者是所有的對象都參與排隊(duì)(因此也叫full permutation)。4個(gè)人排隊(duì)可以理解為4個(gè)人排(4個(gè)位置的)隊(duì)，這屬于factorial or full permutation,而4個(gè)人排2個(gè)位置的隊(duì)則是一般形式的permutation;

2) 由特殊到一般，n個(gè)人排k個(gè)位置的隊(duì)的k個(gè)步驟分別是：第一個(gè)位置有n種，第二個(gè)位置有n-1…第k個(gè)位置有n-(k-1)種。對于這一長串相乘的數(shù)字規(guī)定為nPk(表格里另外兩張寫法也有，另外國內(nèi)一般規(guī)定為Akn，GRE數(shù)學(xué)以第一個(gè)為準(zhǔn))。當(dāng)k=n時(shí)，即有nPn=n!;

3) nPk的計(jì)算可以理解作從n開始數(shù)k個(gè)數(shù)字為止相乘的結(jié)果，如8P3=8×7×6=336。

Test 1) How many different four-digit codescan be formed using the digits 0 to 9 if none of the digits can occur more thanonce? (GRE OG例題)

解題思路：four-digitcodes表示密碼是有且僅有4位的，和permutation定義中的步驟是一個(gè)概念，而0~9這10個(gè)數(shù)字均僅能用1次，與參與排列的總對象n是一個(gè)概念，故可列式為：

10P4=10×9×8×7=5040

以上為一道典型的permutation的題目。然而，有時(shí)候題目的難度并不止于此。第二道題目提醒單身狗要做好心理準(zhǔn)備，因?yàn)槟悴粌H要接受難題的洗禮，還要被喂狗糧。

Test 2) 5 persons are queuing to wait forthe subway, including a pair of lovers who don’t want to separate with each other. How many different queues may represent?

解題思路：對于被限定條件綁在一起的對象(手動(dòng)滑稽)，整體看成1個(gè)可以單獨(dú)參與排列的對象，并且增加一個(gè)步驟表示這個(gè)整體內(nèi)部的全排列，公式可列為：

4P4×2P2=24×2=48

以上方法可以簡稱為打包法，可以解決同類型的許多題目。之后的另一種類型題目給單身狗平復(fù)一下情緒，使用的是另一種方法，請同學(xué)們自行思考。

Test 3) 5 persons are queuing to wait forthe subway, including a pair of former lovers who don’t want to standwith each other. How many different queues may represent?